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By Bernard Le Stum

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Chirurgie esthétique et fonctionnelle de la face

Cet ouvrage centré sur l. a. chirurgie esthétique faciale repose sur une profonde connaissance de l'anatomie, de los angeles physiologie et de l'étiopathogénie du vieillissement de los angeles face. Les suggestions thérapeutiques à visée esthétique sont développées mais en préservant toujours l. a. fonction - gage d'un meilleur résultat immédiat et à plus lengthy terme.

Чертежи кораблей французского флота - DECIDEE 1899

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Alors (v1 , . . , vn ) est une base. B04 – Version du December 2, 2008 47 Démonstration : On procède par récurrence sur n. Si n = 0, alors E = {0} et il n’y a rien à faire. En général, on peut écrire, pour chaque i = 1, . . , n, vi =: λi1 u1 + · · · + λin un et on pose vi = vi − λin un . On considère alors le sous espace F de E engendré par u1 , . . , un−1 . Si le système (v1 , . . , vn ) était libre, alors (v1 , . . , vn−1 ) serait aussi libre. Par récurrence, ce serait une base de F et on pourrait écrire vn comme combinaison linéaire des autres vecteurs.

Considérons par exemple les vecteurs u := (1, −1, 0) et v := (1, 0, −1) de R3 . Ils sont indépendants et on peut donc considérer le système libre L := (u, v). D’autre part, on sait que (e1 , e2 , e3 ) est une base de R3 et est donc générateur. Il suit que le système G := (u, v, e1 , e2 , e3 ) est générateur et on a L ⊂G . Le théorème nous dit donc qu’il existe une base B de R3 avec L ⊂ B ⊂ G. Ça fait donc un nombre fini de possibilités que l’on peut tester. En fait, on peut prendre B := (u, v, e1 ).

Si n = 0, alors E = {0} et il n’y a rien à faire. En général, on peut écrire, pour chaque i = 1, . . , n, vi =: λi1 u1 + · · · + λin un et on pose vi = vi − λin un . On considère alors le sous espace F de E engendré par u1 , . . , un−1 . Si le système (v1 , . . , vn ) était libre, alors (v1 , . . , vn−1 ) serait aussi libre. Par récurrence, ce serait une base de F et on pourrait écrire vn comme combinaison linéaire des autres vecteurs. Contradiction. Il suit que (v1 , . . , vn ) est lié et on peut donc trouver une combinaison linéaire non-triviale qui s’annule µ1 v1 + · · · + µn vn = 0.

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